今天我们来讨论一个有趣的问题，解方程：1^x=2

(资料图)

对于这个方程你当然会产生疑问。1的x次方等于2？1的任何次方都等于1啊，1^x怎么可能等于2！所以这个方程无解。

是的，你没错，但这个结论的成立是有前提条件的，那就是在实数范围内无解，但是在复数范围内这个方程是有解的，而且还不止一个解。

我们首先来认识一下虚数。我们都知道对于√x，在实数范围内，只有当x≥0时，√x才有意义；而当x＜0时，√x就没有意义，所以√(-1)在实数范围内没有意义。

那我们能不能让√(-1)有意义呢？既然实数范围内不行，那我们就想办法扩大数域的范围，这样虚数就应运而生了。

于是我们创造了一个虚数单位i，定义i^2=-1，这样-1就可以开根号了，定义√(-1)=i。

我们把形如a+bi的数称之为虚数，这里a，b∈实数集R，且b≠0。所有的实数与虚数组成复数，在我们目前的数学体系下，所有的数都是复数。

需要强调的是，如果是在复数范围内解方程x^2=-1，x是等于±i，而不是等于i。

有了复数域，我们就可以得出一般结论

√x=√[(-x)×(-1)]=[√(-x)]×[√(-1)]

=[√(-x)]×i=i√(-x)，x＜0

进一步，我们就能扩展一元二次方程的求根公式。我们都知道对于一元二次方程：

ax^2+bx+c=0，a≠0

如果判别式△=b^2-4ac≥0，则方程有两个实根

如果判别式△＜0，则方程无实根

注意这里说的是无实根，也就是在实数范围内没有根，但在复数范围内，是有两个虚根的。

x=(-b±√△)/2a=[-b±i√(-△)]/2a，△＜0

也就是说，在复数范围内，一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0），在任何情况下都有2个根。

再进一步，可以证明，任何一个一元n次多项式方程，都必有n个复数根，这就是著名的代数基本定理。注意这个定理的名字叫代数基本定理，可见这个结论在代数学中的至高地位。

我们来解一下一元三次方程x^3=1

x^3-1=(x-1)×(x^2+x+1)=0

x-1=0，x1=1

x^2+x+1=0，△=1^2-4×1×1=1-4=-3

x23=[-1±√(-3)]/(2×1)=(-1±i√3)/2

方程x^3=1在复数范围内有3个根，分别为

x1=1，x2=(-1+i√3)/2，x3=(-1-i√3)/2

好了，了解了虚数，接下来回到我们今天讨论的主题：如何解方程1^x=2?

解：1^x=2，等式两边同取以自然常数e为底的自然对数log(e，a)=ln(a)

ln(1^x)=ln(2)，x×ln(1)=ln(2)

x=ln(2)/ln(1)

你应该已经发现了，这个分数的分母ln(1)=0，而分母为0是没有意义的啊，所以方程仍然是无解的。

没有错，所以我们接下来需要将分母变换一下。

根据欧拉公式：e^(ix)=cos(x)+i×sin(x)

x=ln(2)/ln(1)

1=1+0=1+i×0=cos(2kπ)+i×sin(2kπ)=e^(i×2kπ)

ln(1)=ln[e^(i×2kπ)]

=(i×2kπ)×ln(e)=(2kπi)×1=2kπi

这里k≠0，否则2kπi=(2πi)×0=0，又会出现分母为0无意义

x=ln(2)/ln(1)=ln(2)/(2kπi)

=[i×ln(2)]/(2kπ×i^2)

=iln(2)/[2kπ×(-1)]

=-iln(2)/(2kπ)

结论：方程1^x=2的在复数域上的解为

x=-iln(2)/(2kπ)，这里k∈整数集Z，且k≠0

关于复数域内讨论问题，还有很多在实数域中得不出的有趣结论，我们后面再慢慢讨论。